Exploración de las Dimensiones Fractales
Grado: 10°
Duración: 60 minutos
Introducción
| Líneas que delimitan el mapa de Inglaterra en diferentes escalas |
La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc,) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos. Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más pequeños, el concepto de longitud no está claramente definido.
Cuando se quiere medir una linea fractal con una unidad, o con un instrumento de medida determinado, siempre habrá objetos más finos que escaparán a la sensibilidad de la regla o el instrumento utilizado, y también a medida que aumenta la sensibilidad del instrumento aumenta la longitud de la línea.
Como la longitud de la linea fractal depende de la longitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la noción de longitud en estos casos, carece de sentido. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal. Que en el caso de las líneas fractales nos va a indicar de qué forma o en que medida una linea fractal llena una porción de plano y además refleja las propiedades de escala de la curva.
Propósitos:
- Calcular la dimensión de algunos fractales lineales.
- Definir el concepto de Dimensión fractal por medio de la interpretación de datos y gráficos.
- Comprobar la dimensión fractal de algunas figuras geométricas euclidianas y concluir que la dimensión fractal es una generalización de la dimensión euclidiana.
En la primera aplicación que se encontrarán podrán observar cómo las iteraciones casi infinitas nos pueden introducir a escalas cada vez más pequeñas de un fractal a sólo un clic. Lo ideal es que puedas ir leyendo las explicaciones que van surgiendo a medida que ahondas en la figura y te enteres de muchas otras cosas de los fractales que hasta ahora no te habías imaginado.
En la segunda parte se presenta un applet en el que tendrás que aplicar tus conocimientos sobre cómo se construyen los fractales y reconocer sus propiedades para que puedas obtener la medida de su dimensión. Sigue las indicaciones y si tienes alguna duda puedes dar clic a la pestaña Help. Responde las preguntas en tu hoja de trabajo.
1. Imagínate que la siguiente figura representa en plano una representación de las galaxias que hay en el universo a miles de millones de años luz de la tierra y te encuentras en un observatorio con un telescopio ultrapotente con el cual puedes ir alejándote de la tierra y profundizando en esa cosa rara que encontraste en el espacio. Selecciona un punto en particular hacia donde te quieras dirigir y observar.
Dale una medida inicial en las unidades que quieras al perímetro de uno de esos entes cósmicos que aparecen. (Da clic a la imagen)
.
¿Cuál será la medida después de que hagas unos 10 ZOOM? o ¿50 ZOOM? ¿20000 ZOOM? ¿Qué puedes concluir de la observación?
Ahora piensa que en realidad no es una observación cósmica, sino que es un verdadero fractal creado por Mandelbrot ¿Observas alguna característica de los fractales que no se había considerado antes?
2. Abre el siguiente applet y aplica tus conocimientos en la identificación de la escala y el número de copias generadas por una línea inicial, comprueba que estás en lo correcto y obtendrás automáticamente la dimensión del fractal.
Esbozo del
generador
|
Factor escala
|
Número de copias
|
Dimensión del
Fractal
|
b) ¿Cuál fractal tiene la dimensión más pequeña? ¿La más grande?
c) Coloca los Fractales en orden de menor a mayor según su dimensión. Ahora los fractales generados por cada una de ellas, y construir una hipótesis acerca de cómo se relaciona el fractal final con su dimensión. ¿Qué tan "rellenos" están los fractales? ¿Qué tanto se expanden?
Sugerencia: genera los fractales en el applet, captura un pantallazo de la imagen del fractal luego de muchas iteraciones o haz un recorte de él y pega la imagen final en el orden pedido para que compares sus dimensiones.
e) Responde:
¿Cuál es la dimensión de un cuadrado?
¿Podrías realizar un procedimiento similar al de los fractales para hallar su dimensión?
¿Es un cuadrado un fractal? o ¿Tiene una dimensión fractal?
Luego de responder estas preguntas accede al siguiente link donde encontrarás una explicación a la relación existente entre la escala y la dimensión del cuadrado y el cubo.
Ahora intenta generalizar esta relación.f) ¿Es la dimensión fractal un caso particular de la dimensión euclidiana o viceversa?
Referencias
http://www.shodor.org/interactivate/media/worksheets/33.pdf
Está muy completa la actividad, con preguntas muy acertadas que suben su nivel poco a poco.
ResponderEliminarDepronto te aconsejaría que la tabla la dejaras sin los espacios para llenarla, ya que en estos espacios no se puede escribir, por lo tanto son innecesarios.
No me abre el applet,¿Qué pasará?
Gracias Mónica por tus comentarios. Ya voy a revisar que pasa.
ResponderEliminarHola, interesante tu propuesta, el tema de los fractales es muy poco abordado en los colegios por la dificultad de la ilustración, problema que solucionas muy bien apoyándote de las TIC.Me gusta la idea de integrar las Matemáticas con las demás áreas del conocimiento, en este caso con el ingles en las paginas que presentas, mas que todo al final.
ResponderEliminarSolo tengo algunas sugerencias e inquietudes, primero, si es posible calcular facilidad esas dimensiones, teniendo presente que mencionas en la introducción que es uno delos elementos mas complicados de entender, los demás propósitos los encuentro muy pertinentes.
Segundo, no encontré la pestaña HELP que mencionas en las condiciones iniciales.
Tercero, se presentan dificultades con el applet, no logro visualizarlo, como al compañera Mónica lo menciona anteriormente.
Cuarto, el apartado 2. a) me parece confuso, recomiendo revisar la idea.
Quinto, no comprendo si el objetivo de los documentos al final es para que los estudiantes los lean o es para compartirlo con nosotros, es importante aclararlo en el inicio.
Feliz noche!
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderEliminarAndrés, intentaré responder a tus inquietudes.
ResponderEliminar1) En realidad calcular la dimensión es muy sencillo, basta con aplicar D = Log(N)/Log(L) donde N representa el Número de copias generadas y L el factor Escala. Ambos conceptos deben estar claros ya con actividades previas (que se presentarán de otra manera en el Ambiente) y con ese objetivo es por el cual se llena la tabla.
2)La pestaña Help está en la página del Applet. Cuando intenté abrirla desde otro explorador que no fuera Google Chrome no me abrió. 3)El enlace es http://www.shodor.org/interactivate/activities/FractalDimensions/
4) Yo tenía una tabla completa con 10 filas para llenar de acuerdo a las figuras que se encuentran en el applet. Pero por sugerencia de la compañera Mónica, quité la tabla porque al fin y al cabo los estudiantes no pueden llenar los campos.
5)Los docoumentos al final son como las referencias. Quizás sí me faltó explicar bien eso.